stoxoi_133.jpg



Ένας ακέραιος αριθμός μπορεί να είναι θετικός, αρνητικός ή μηδεν. Χρησιμοποιούμε το σύμβολο του μείον (-), για να προσδιορίσουμε έναν αρνητικό ακέραιο. Ωστόσο, ένας υπολογιστής μπορεί να αποθηκεύσει μόνο πληροφορίες σε bits, τα οποία μπορούν να έχουν μόνο τις τιμές μηδέν ή ένα. Επομένως, η αποθήκευση των αρνητικών ακεραίων σε έναν υπολογιστή μπορεί να απαιτεί κάποιο ιδιαίτερο τρόπο διαχείρισης.

1.3.3.1 μη προσημασμένοι ακέραιοι

Ένας μη προσημασμένος ακέραιος είναι ένας ακέραιος χωρίς πρόσημο, δηλ.μηδέν ή θετικός (0,1,2,3,4,...). Δεν υπάρχει υπολογιστής που να μπορεί να αναπαραστήσει όλους τους ακέραιους αριθμούς (άπειροι). Ο μέγιστος μη προσημασμένος ακέραιος εξαρτάται από τον αριθμό των bits που χρησιμοποιεί ο υπολογιστής για την αναπαράσταση μη προσημασμένων ακεραίων (τα περισσότερα συστήματα σήμερα, χρησιμοποιούν 32 bit ή 64 bit ακεραίους). Με n δυαδικά ψηφία (bits), μπορούμε να παραστήσουμε 2n διαφορετικούς μη προσημασμένους ακεραίους με τιμές στο διάστημα 0 έως 2n-1 (γιατί;).

Δυαδικά ψηφία (bits)
Μεγαλύτερος μη προσημασμένος ακέραιος
8
28-1 = 255
16
216-1 = 65.535
32
232-1 = 4.294.967.295
64
264-1 = 18.446.744.073.709.551.615
128
2128-1 = 340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.455

1.3.3.2 προσημασμένοι ακέραιοι


Ας θυμηθούμε πρώτα την Πρόσθεση δυαδικών αριθμών
0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 και 1 το κρατούμενο

1 + 1 + 1 = 1 και 1 το κρατούμενο
external image add-process.png
Πηγή: Components of digital circuits
Τι είναι ένας προσημασμένος ακέραιος;

Παράσταση προσήμου-μέτρου (Sign-Magnitude Representation)


Το πρόσημο ενός αριθμού αναπαρίσταται ξεχωριστά από το μέτρο του.
  • Το ψηφίο μέγιστης σημαντικότητας (MSB), είναι το ψηφίο προσήμου, με τη σύμβαση ότι το 0 είναι για τους θετικούς ακεραίους και το 1 για τους αρνητικούς ακεραίους.
  • Τα υπόλοιπα n-1 bits αντιπροσωπεύουν το μέτρο (απόλυτη τιμή) του ακεραίου.
external image 2...jpg
external image DataRep_SignMagnitude.png
Πηγή: A Tutorial on Data Representation
sign_magnitude_2.jpg
sign-magnitude_integers.jpg
Παράσταση προσήμου-μέτρου Για n=8 bit:
- Πόσοι θετικοί ακεραίοι μπορούν να αναπαρασταθούν;
- Ποιος είναι ο μικρότερος και ποιος ο μεγαλύτερος ακέραιος που μπορεί να αναπαρασταθεί;
- Τι συμβαίνει με το 0;
- Ποιο το αποτέλεσμα αν προστεθεί ένας αρνητικός ακέραιος (π.χ. -3) με έναν θετικό (π.χ. 10);



Παράσταση συμπληρώματος ως προς 1 (One's Complement Representation)

  • Το ψηφίο μέγιστης σημαντικότητας (MSB), είναι το ψηφίο προσήμου, με τη σύμβαση ότι το 0 είναι για τους θετικούς ακεραίους και το 1 για τους αρνητικούς ακεραίους.
  • Τα υπόλοιπα n-1 bits αντιπροσωπεύουν το μέτρο του ακεραίου, ως εξής:
    • αν ο αριθμός είναι θετικός, το μέτρο του δίδεται από τα υπόλοιπα n-1 bits
    • αν ο αριθμός είναι αρνητικός, το μέτρο του δίνεται από το συμπλήρωμα ως προς 1 (αντίστροφο) των υπολοίπων n-1 bits

complement.jpg
Το συμπλήρωμα ως προς 1 ενός δυαδικού αριθμού βρίσκεται εύκολα αν αντικατασταθούν όλα τα 1 του αριθμού με 0 και όλα τα 0 με 1


external image DataRep_OneComplement.png
one_complement_2.jpg
integers1.jpg
Παράσταση συμπληρώματος ως προς 1 Για n=8 bit:
- Πόσοι θετικοί ακεραίοι μπορούν να αναπαρασταθούν;
- Ποιος είναι ο μικρότερος και ποιος ο μεγαλύτερος ακέραιος που μπορεί να αναπαρασταθεί;
- Τι συμβαίνει με το 0;




Παράσταση συμπληρώματος ως προς 2 (Two's Complement Representation)


Η παράσταση συμπληρώματος ως προς δύο είναι ο πιο συνηθισμένος τρόπος αναπαράστασης ακεραίων κατά τη διάρκεια επεξεργασίας από έναν υπολογιστή.
  • Όπως και στις προηγούμενες παραστάσεις, αν το MSB του αριθμού είναι 0, ο αριθμός είναι θετικός και το μέτρο του δίδεται από τα υπόλοιπα n-1 bits.
  • Εάν το MSB του αριθμού είναι 1, τότε ο αριθμός είναι αρνητικός. Για να βρούμε το μέτρο του αριθμού, πρέπει να υπολογίσουμε το συμπλήρωμα ως προς 2 και των n ψηφίων του (δηλαδή λαμβάνουμε υπόψη και το πρόσημο).
Το συμπλήρωμα ως προς 2 ενός δυαδικού αριθμού βρίσκεται, εάν αντικαταστήσουμε το 0 με 1 και το 1 με 0 (συμπλήρωμα ως προς 1) και στη συνέχεια προσθέσουμε 1
Το συμπλήρωμα ως προς 2 ενός δυαδικού αριθμού βρίσκεται, εάν αντικαταστήσουμε το 0 με 1 και το 1 με 0 (συμπλήρωμα ως προς 1) και στη συνέχεια προσθέσουμε 1

Πηγή: Σχ. Βιβλίο, Εφαρμογές Πληροφορικής-Υπολογιστών

external image DataRep_TwoComplement.png
two_complement_2.jpg
integers2.jpg
Παράσταση συμπληρώματος ως προς 2 Για n=8 bit:
- Πόσοι θετικοί ακεραίοι μπορούν να αναπαρασταθούν;
- Ποιος είναι ο μικρότερος και ποιος ο μεγαλύτερος ακέραιος που μπορεί να αναπαρασταθεί;
- Τι συμβαίνει με το 0;


Η παράσταση συμπληρώματος ως προς 2 είναι αυτή που χρησιμοποιείται περισσότερο γιατί:
  • Υπάρχει μόνο μία αναπαράσταση για τον αριθμό μηδέν
  • Διευκολύνει και απλοποιεί πολύ την εκτέλεση των αριθμητικών πράξεων, τόσο για τους θετικούς, όσο και για τους αρνητικούς αριθμούς. Η αφαίρεση μπορεί να γίνει κάνοντας αρνητικό το δεύτερο αριθμό και προσθέτοντάς τον στον πρώτο.
  • Για παράδειγμα 11-5=11+(-5).
integers3.jpg

Δραστηριότητα:
Σχολιάστε την παρακάτω εικόνα:
external image DataRep_SignedIntegers.gif
Πηγή: A Tutorial on Data Representation


ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ - ΑΝΑΦΟΡΕΣ
  • Indiana University School of Informatics and Computing (2013). Representing integers and real numbers (Ανακτήθηκε 02/09/2015 από https://goo.gl/Luij7u)
  • Nanyang Technological University (2014). A Tutorial on Data Representation (Ανακτήθηκε 02/09/2015 από https://goo.gl/eLHp0G)
  • Γιακουμάκης, ε., Γκυρτής, κ., Μπελεσιώτης, Β.Σ., Ξυνός, Π., Στεργιοπούλου - Καλαντζή, Ν. (2000) Εφαρμογές Πληροφορικής Υπολογιστών, Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων, Αθήνα. (Ανακτήθηκε 02/09/2015 από http://goo.gl/dLJx0E)


ΠΗΓΕΣ - ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΜΕΛΕΤΗ