Αριθμητικό σύστημα ή σύστημα αρίθμησης είναι ένα σύνολο από κανόνες για την ονομασία και γραφή αριθμών, ώστε να αντιστοιχίζεται αξία κατά τρόπο μοναδικό σε ακολουθίες ψηφίων.
Σε όλα τα σύγχρονα συστήματα αρίθμησης η αξία του κάθε ψηφίου εξαρτάται από τη θέση που έχει μέσα στον αριθμό (Θεσιακό σύστημα).
  • Η τάξη των ψηφίων στους δεκαδικούς ακεραίους είναι (από τα δεξιά προς τα αριστερά) μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες κλπ.
  • Για δυαδικούς ακεραίους είναι (από τα δεξιά προς τα αριστερά) μονάδες, δυάδες, τετράδες, οκτάδες κλπ.

Values_of_digits_in_the_Decimal_numeral_system.svg.png

Value_of_digits_in_the_Binary_numeral_system.svg.png
Hexadecimal_digit.png
Πηγή: Numeral Systems - Wikiversity

Το ψηφίο με τη μεγαλύτερη τάξη στον αριθμό λέγεται ψηφίο μέγιστης σημαντικότητας (most significant digit). Στους δυαδικούς αριθμούς λέγεται δυαδικό ψηφίο μέγιστης σημαντικότητας (most significant bit, MSB). Αντίστοιχα το ψηφίο με τη μικρότερη τάξη λέγεται ψηφίο ελάχιστης σημαντικότητας (least significant digit/bit, LSB).
lsb_msb_shown.png


Τι σημαίνει ο αριθμός 111; Εξαρτάται από τη βάση του συστήματος αρίθμησης που χρησιμοποιούμε. Βάση ονομάζεται το μέγιστο πλήθος των μοναδικών ψηφίων (συμπεριλαμβανομένου και του 0) που ένα σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί.
  • Η βάση του δεκαδικού συστήματος είναι το 10 που σημαίνει ότι έχουμε δέκα ψηφία (από το 0 έως και το 9).
  • Το δυαδικό σύστημα έχει βάση το 2 και για την αναπαράσταση των αριθμών χρησιμοποιούνται τα δύο ψηφία 0 και 1.
  • Το οκταδικό σύστημα έχει βάση το 8 και για την αναπαράσταση των αριθμών χρησιμοποιούνται τα οκτώ ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7.
  • Το δεκαεξαδικό σύστημα έχει βάση το 16 και για την αναπαράσταση των αριθμών χρησιμοποιούνται τα δεκαέξι ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E και F.

- Το όνομα ενός συστήματος αρίθμησης προέρεχεται από τον αριθμό των ψηφίων που χρησιμοποιεί για την παράσταση των αριθμών
- Η βάση κάθε συστήματος είναι κατά 1 μεγαλύτερη του μεγαλύτερου ψηφίου του συστήματος
- Αν η βάση του συστήματος είναι μεγαλύτερη από το δέκα τότε χρησιμοποιούνται τα γράμματα Α,B,C,D,E,F,... για την αναπαράσταση των στοιχείων 10,11,12,13,14,15,... του αριθμητικού συστήματος.

Επειδή τα περισσότερα ψηφία των συστημάτων αρίθμησης είναι κοινά, δηλώνουμε τη βάση του συστήματος κάθε αριθμού με ένα δείκτη μετά τον αριθμό, ο οποίος γράφεται μέσα σε παρενθέσεις, π.χ. (10000)2, (2713)8, (86255)10. Όταν δεν αναγράφεται η βάση, εννοείται το 10.

Επομένως η ακολουθία ψηφίων 111:
  • (111)10 = 1x100 + 1x10 + 1x1 = 111 (δεκαδικό σύστημα)
  • (111)2 = 1x4 + 1x2 + 1x1 = (7)10 (δυαδικό σύστημα)
  • (111)8= 1x64 + 1x8 + 1x1= (73)10 (οκταδικό σύστημα)
  • (111)16 = 1x256 + 1x16 + 1x1 = (273)10 (δεκαεξαδικό σύστημα)
10.png

Ανάλυση δεκαδικού αριθμού σε δυνάμεις του 10
2.png

Ανάλυση δυαδικού αριθμού σε δυνάμεις του 2Μετατροπή του δυαδικού αριθμού (10010)2 στον δεκαδικό (18)10
8.png

Ανάλυση οκταδικού αριθμού σε δυνάμεις του 8Μετατροπή του οκταδικού αριθμού (7264)8 στον δεκαδικό (3764)10
Πηγή: Σχ. Βιβλίο, Βασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας
16.png

Ανάλυση δεκαεξαδικού αριθμού σε δυνάμεις του 16Μετατροπή του δεκαεξαδικού αριθμού (FA38)16 στον δεκαδικό (64056)10

Ένας αριθμός εκφρασμένος σε βάση r μπορεί να μετατραπεί σε δεκαδικό, πολλαπλασιάζοντας κάθε συντελεστή με την αντίστοιχη δύναμη του r και προσθέτοντας τα επιμέρους γινόμενα.
base2_converter2.png
Base 2 converter


Δραστηριότητα:

  • Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω αλληλεπιδραστικό μετατροπέα (Base 2 converter), προσπαθήστε να μετατρέψετε έναν δεκαδικό αριθμό σε δυαδικό. Για παράδειγμα, επιλέξτε έναν αριθμό μικρότερο από 61 (π.χ. τον αριθμό του σπιτιού σας, την ηλικία ενός φίλου, την ημέρα του μήνα που γεννηθήκατε), μηδενίστε όλα τα δυαδικά ψηφία και στη συνέχεια, ξεκινήστε με το αριστερό ψηφίο MSB (32), δοκιμάζοντας αν θα πρέπει να είναι μηδέν ή ένα. Δείτε αν μπορείτε να βρείτε μια μέθοδο για τη μετατροπή του αριθμού χωρίς πολλές δοκιμές και λάθη.
  • Ποιος είναι ο μεγαλύτερος και ποιος ο μικρότερος αριθμός που μπορείτε να μετατρέψετε χρησιμοποιώντας τον παραπάνω μετατροπέα (Base 2 converter);



ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ-ΑΝΑΦΟΡΕΣ
- Bishop, P. (2000). Επιστήμη και Τεχνολογία Υπολογιστών, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα 2000
- University of Canterbury (2015). Computer Science Field Guide, New Zealand (Ανακτήθηκε 19/11/2016 από
http://www.csfieldguide.org.nz/en/index.html)
- Σιδερίδης, Α., Γιαλούρης. Κ., Παπαδόπουλος. Α., Σταθόπουλος. Κ. (2001). Βασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας, Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Αθήνα. (Ανακτήθηκε 02/09/2015 από
http://goo.gl/q8yHct)

ΠΗΓΕΣ-ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΜΕΛΕΤΗ- Σχ. Βιβλίο: Βασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας (1.3 Αριθμητικά Συστήματα) (http://goo.gl/q8yHct)
- Computer Science Field Guide (5.3: Numbers), University of Canterbury, New Zealand (
https://goo.gl/t4tk34)